671. Грузы 17 и 23 кг подвешены к концам рычага длиной 1,6 м. На каком расстоянии от середины рычага помещена опора, если рычаг уравновешен? Чему равны плечи рычага?

Задание 671

Дано:

• Груз 1: \( m_1 = 17 \) кг.
• Груз 2: \( m_2 = 23 \) кг.
• Длина рычага: \( L = 1,6 \) м.

Найти: расстояние от середины рычага до опоры и плечи рычага.

Решение:

Для равновесия рычага момент силы тяжести, действующей на одно плечо, должен быть равен моменту силы тяжести, действующей на другое плечо:

\[ m_1 × g × l_1 = m_2 × g × l_2 \]

где \( g \) — ускорение свободного падения, \( l_1 \) и \( l_2 \) — плечи рычага.

Упрощаем, сокращая \( g \):

\[ m_1 × l_1 = m_2 × l_2 \]

Также известно, что сумма плеч равна длине рычага: \( l_1 + l_2 = L = 1,6 \) м.

Выразим \( l_1 \) через \( l_2 \): \( l_1 = 1,6 - l_2 \).

Подставим это в уравнение моментов:

\[ 17 × (1,6 - l_2) = 23 × l_2 \]

\[ 17 × 1,6 - 17 × l_2 = 23 × l_2 \]

\[ 27,2 = 17 × l_2 + 23 × l_2 \]

\[ 27,2 = 40 × l_2 \]

\[ l_2 = \(\frac{27,2}{40}\) = 0,68 \) м.

Теперь найдём \( l_1 \):

\[ l_1 = 1,6 - l_2 = 1,6 - 0,68 = 0,92 \) м.

Плечи рычага равны 0,92 м и 0,68 м.

Опора находится на расстоянии от середины рычага, равном половине разницы длин плеч:

\[ Состояние = \(\frac{l_1 - l_2}{2}\) = \(\frac{0,92 - 0,68}{2}\) = \(\frac{0,24}{2}\) = 0,12 \) м.

Ответ: плечи рычага равны 0,92 м и 0,68 м. Опора находится на расстоянии 0,12 м от середины рычага.