6) x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0.

Решение:

Для решения данного полиномиального уравнения пятой степени \( x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0 \), попробуем найти рациональные корни с использованием теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни — это делители свободного члена (12), так как старший коэффициент равен 1.

Делители 12: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).

Проверим некоторые значения:

• При \( x = -1 \): \( (-1)^5 + 8(-1)^4 + 24(-1)^3 + 35(-1)^2 + 28(-1) + 12 = -1 + 8 - 24 + 35 - 28 + 12 = 2 \) (не корень).
• При \( x = -2 \): \( (-2)^5 + 8(-2)^4 + 24(-2)^3 + 35(-2)^2 + 28(-2) + 12 = -32 + 8(16) + 24(-8) + 35(4) - 56 + 12 = -32 + 128 - 192 + 140 - 56 + 12 = 0 \). Следовательно, \( x = -2 \) является корнем.

Так как \( x = -2 \) является корнем, то \( (x + 2) \) — множитель многочлена. Выполним деление многочлена \( x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 \) на \( (x + 2) \) методом Горнера.

Получаем: \( (x + 2)(x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6) = 0 \).

Теперь нужно решить уравнение \( x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6 = 0 \). Снова попробуем найти рациональные корни (делители 6).

• Проверим \( x = -3 \): \( (-3)^4 + 6(-3)^3 + 12(-3)^2 + 11(-3) + 6 = 81 + 6(-27) + 12(9) - 33 + 6 = 81 - 162 + 108 - 33 + 6 = 0 \). Следовательно, \( x = -3 \) является корнем.

Так как \( x = -3 \) является корнем, то \( (x + 3) \) — множитель. Выполним деление \( x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6 \) на \( (x + 3) \) методом Горнера.

Получаем: \( (x + 2)(x + 3)(x^3 + 3x^2 + 3x + 2) = 0 \).

Теперь нужно решить кубическое уравнение \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0 \). Снова попробуем найти рациональные корни (делители 2).

• Проверим \( x = -2 \): \( (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 + 3(4) - 6 + 2 = -8 + 12 - 6 + 2 = 0 \). Следовательно, \( x = -2 \) является корнем.

Так как \( x = -2 \) является корнем, то \( (x + 2) \) — множитель. Выполним деление \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) на \( (x + 2) \) методом Горнера.

Получаем: \( (x + 2)(x + 3)(x + 2)(x^2 + x + 1) = 0 \).

Итак, у нас есть множители \( (x + 2)^2 (x + 3)(x^2 + x + 1) = 0 \).

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + x + 1 = 0 \).

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \).

Так как \( D < 0 \), это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Комплексные корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \).

Действительные корни уравнения:

• \( x = -2 \) (кратность 2)
• \( x = -3 \)

Ответ: x = -2, x = -3.