4) 5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0;

Решение:

Для решения данного полиномиального уравнения четвертой степени (5x⁴ + 9x³ - 2x² - 4x - 8 = 0) можно попробовать найти рациональные корни с использованием теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид \( \frac{p}{q} \), где \( p \) — делитель свободного члена (-8), а \( q \) — делитель старшего коэффициента (5).

Делители -8: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Делители 5: \( \pm 1, \pm 5 \).

Возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{4}{5}, \pm \frac{8}{5} \).

Проверим некоторые значения:

• При \( x = -2 \): \( 5(-2)^4 + 9(-2)^3 - 2(-2)^2 - 4(-2) - 8 = 5(16) + 9(-8) - 2(4) + 8 - 8 = 80 - 72 - 8 + 8 - 8 = 4 \) (не корень).
• При \( x = -1 \): \( 5(-1)^4 + 9(-1)^3 - 2(-1)^2 - 4(-1) - 8 = 5(1) + 9(-1) - 2(1) + 4 - 8 = 5 - 9 - 2 + 4 - 8 = -10 \) (не корень).
• При \( x = 1 \): \( 5(1)^4 + 9(1)^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 8 = 5 + 9 - 2 - 4 - 8 = 0 \). Следовательно, \( x = 1 \) является корнем.

Так как \( x = 1 \) корень, то \( (x - 1) \) является множителем многочлена. Выполним деление многочлена \( 5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 \) на \( (x - 1) \) столбиком или методом Горнера.

Используя метод Горнера:

Получаем: \( (x - 1)(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) = 0 \).

Теперь нужно решить кубическое уравнение \( 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8 = 0 \). Снова применим теорему о рациональных корнях. Возможные корни — делители 8, деленные на делители 5.

• Проверим \( x = -4/5 \): \( 5(-\frac{4}{5})^3 + 14(-\frac{4}{5})^2 + 12(-\frac{4}{5}) + 8 = 5(-\frac{64}{125}) + 14(\frac{16}{25}) - \frac{48}{5} + 8 = -\frac{64}{25} + \frac{224}{25} - \frac{240}{25} + \frac{200}{25} = \frac{-64 + 224 - 240 + 200}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} \) (не корень).
• Проверим \( x = -2 \): \( 5(-2)^3 + 14(-2)^2 + 12(-2) + 8 = 5(-8) + 14(4) - 24 + 8 = -40 + 56 - 24 + 8 = 0 \). Следовательно, \( x = -2 \) является корнем.

Так как \( x = -2 \) корень, то \( (x + 2) \) является множителем \( 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8 \). Выполним деление.

Метод Горнера для \( 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8 \) и корня -2:

Получаем: \( (x - 1)(x + 2)(5x^2 + 4x + 4) = 0 \).

Теперь нужно решить квадратное уравнение \( 5x^2 + 4x + 4 = 0 \).

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 16 - 80 = -64 \).

Так как \( D < 0 \), это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Комплексные корни: \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 8i}{10} = \frac{-2 \pm 4i}{5} \).

Следовательно, действительные корни уравнения: \( x = 1 \) и \( x = -2 \).

Ответ: x = 1, x = -2.