5) 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0;

Решение:

Для решения данного полиномиального уравнения четвертой степени (2x⁴ - 3x³ - 7x² + 6x + 8 = 0) попробуем найти рациональные корни с использованием теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид \( \frac{p}{q} \), где \( p \) — делитель свободного члена (8), а \( q \) — делитель старшего коэффициента (2).

Делители 8: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Делители 2: \( \pm 1, \pm 2 \).

Возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{2} \).

Проверим некоторые значения:

• При \( x = 2 \): \( 2(2)^4 - 3(2)^3 - 7(2)^2 + 6(2) + 8 = 2(16) - 3(8) - 7(4) + 12 + 8 = 32 - 24 - 28 + 12 + 8 = 0 \). Следовательно, \( x = 2 \) является корнем.
• При \( x = -1 \): \( 2(-1)^4 - 3(-1)^3 - 7(-1)^2 + 6(-1) + 8 = 2(1) - 3(-1) - 7(1) - 6 + 8 = 2 + 3 - 7 - 6 + 8 = 0 \). Следовательно, \( x = -1 \) является корнем.

Так как \( x = 2 \) и \( x = -1 \) являются корнями, то \( (x - 2) \) и \( (x + 1) \) являются множителями многочлена. Их произведение \( (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \) также является множителем.

Выполним деление многочлена \( 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 \) на \( x^2 - x - 2 \) столбиком.

        2x^2   -x    -4
      __________________
x^2-x-2 | 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8
      -(2x^4 - 2x^3 - 4x^2)
      __________________
             -x^3 - 3x^2 + 6x
            -(-x^3 + x^2 + 2x)
            __________________
                  -4x^2 + 4x + 8
                 -(-4x^2 + 4x + 8)
                 __________________
                        0

Получаем: \( (x^2 - x - 2)(2x^2 - x - 4) = 0 \).

Теперь нужно решить квадратное уравнение \( 2x^2 - x - 4 = 0 \).

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33 \).

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.

Корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4} \).

Итак, все корни уравнения:

• Из \( x^2 - x - 2 = 0 \) (или \( (x-2)(x+1)=0 \)): \( x_1 = 2, x_2 = -1 \).
• Из \( 2x^2 - x - 4 = 0 \): \( x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{4} \).

Ответ: x = 2, x = -1, x = \(\frac{1 + \sqrt{33}}{4}\), x = \(\frac{1 - \sqrt{33}}{4}\).