6. Вычислите неопределенный интеграл \( \int (8x^7 + 2\cos x + \frac{7}{\sqrt{x}}) dx \).

Решение:

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

\[ \int (8x^7 + 2\cos x + \frac{7}{\sqrt{x}}) dx = \int 8x^7 dx + \int 2\cos x dx + \int \frac{7}{\sqrt{x}} dx \]

Вынесем константы за знак интеграла:

\[ = 8 \int x^7 dx + 2 \int \cos x dx + 7 \int x^{-\frac{1}{2}} dx \]

Применим формулы интегрирования:

• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int \cos x dx = \sin x + C \)

Вычислим каждый интеграл:

1. \( 8 \int x^7 dx = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} = 8 \cdot \frac{x^8}{8} = x^8 \)
2. \( 2 \int \cos x dx = 2 \sin x \)
3. \( 7 \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 7 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 7 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 7 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} = 14 \sqrt{x} \)

Соберем все части вместе и добавим константу интегрирования \( C \).

\[ x^8 + 2\sin x + 14\sqrt{x} + C \]

Ответ: \( x^8 + 2\sin x + 14\sqrt{x} + C \).