6. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 4 раза?

Решение:

Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле: \( V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} \), где \( a \) — длина ребра.

Пусть начальная длина ребра тетраэдра равна \( a_1 \). Его объем будет \( V_1 = \frac{a_1^3}{6\sqrt{2}} \).

Если все ребра увеличить в 4 раза, то новая длина ребра станет \( a_2 = 4a_1 \).

Новый объем тетраэдра будет: \( V_2 = \frac{a_2^3}{6\sqrt{2}} = \frac{(4a_1)^3}{6\sqrt{2}} = \frac{64 a_1^3}{6\sqrt{2}} \).

Найдем, во сколько раз увеличится объем, разделив \( V_2 \) на \( V_1 \):

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{64 a_1^3}{6\sqrt{2}}}{\frac{a_1^3}{6\sqrt{2}}} = \frac{64 a_1^3}{6\sqrt{2}} × \frac{6\sqrt{2}}{a_1^3} = 64 \).

Таким образом, объем увеличится в \( 4^3 = 64 \) раза.

Ответ: в 64 раза.