5. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12, боковые ребра равны 10. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания:

Основание — квадрат со стороной \( a = 12 \). Площадь квадрата: \( S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \) кв. ед.

2. Площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых треугольников. Для нахождения площади одного треугольника нужно найти его высоту — апофему пирамиды \( h_a \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром. Катет, равный половине стороны основания, равен \( \frac{12}{2} = 6 \) ед. Гипотенуза — боковое ребро, равное \( 10 \) ед.

По теореме Пифагора: \( h_a^2 + 6^2 = 10^2 \) \( h_a^2 + 36 = 100 \) \( h_a^2 = 64 \) \( h_a = 8 \) ед.

Площадь одного бокового треугольника: \( S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot основание × высота = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48 \) кв. ед.

Площадь всей боковой поверхности: \( S_{бок} = 4 × S_{тр} = 4 × 48 = 192 \) кв. ед.

3. Площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 192 = 336 \) кв. ед.

Ответ: 336 кв. ед.