6. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) — середина \(AC\):

\(AM=MC=\frac{84}{2}=42\).

Треугольники \(BHM\) и \(BHC\) прямоугольные, имеют общую сторону \(BH\), а их гипотенузы равны: \(BM=BC\). Следовательно, они равны по гипотенузе и катету, поэтому \(HM=HC\).

Пусть \(HM=HC=x\). Тогда:

\(AC=AM+HM+HC=42+2x=84\),

\(2x=42\),

\(x=21\).

Тогда:

\(AH=AM+MH=42+21=63\) см.

Ответ: 63 см.