6. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь поверхности пирамиды

Решение:

Дано: Правильная треугольная пирамида. Боковое ребро \( l = 6 \) см. Угол наклона бокового ребра к основанию \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найти: Площадь полной поверхности пирамиды \( S_{полн} \).

1. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_{бок} \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_{бок} \) — апофема (высота боковой грани).
2. Найдём апофему: В правильной пирамиде высота боковой грани (апофема) \( h_{бок} = l \cdot \operatorname{sin} \alpha \). \( h_{бок} = 6 \cdot \operatorname{sin} 60^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
3. Найдём высоту пирамиды: \( H = l \cdot \operatorname{cos} \alpha = 6 \cdot \operatorname{cos} 60^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
4. Найдём радиус вписанной окружности в основание: В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности \( r = \frac{1}{3} h_{осн} \). Высота основания \( h_{осн} = a \sqrt{3} / 2 \). Свяжем высоту пирамиды, радиус вписанной окружности и апофему: \( H^2 + r^2 = h_{бок}^2 \). \( 3^2 + r^2 = (3\sqrt{3})^2 \) \( 9 + r^2 = 27 \) \( r^2 = 18 \) \( r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.
5. Найдём сторону основания: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), откуда \( a = 2\sqrt{3} r = 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6} \) см.
6. Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{6} = 18\sqrt{6} \) см.
7. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{18} = 27 \cdot 3\sqrt{2} = 81\sqrt{2} \) см².
8. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 6 \sqrt{3}}{4} = 9 \cdot 6 \sqrt{3} = 54\sqrt{3} \) см².
9. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 81\sqrt{2} + 54\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 81\sqrt{2} + 54\sqrt{3} \) см².