1. Докажите тождество: (tg²a - sin²a) ctg²a = sin²a

Решение:

Левая часть тождества: \( (\operatorname{tg}^2 a - \operatorname{sin}^2 a) \operatorname{ctg}^2 a \)

1. Представим \( \operatorname{tg}^2 a \) как \( \frac{\operatorname{sin}^2 a}{\operatorname{cos}^2 a} \) и \( \operatorname{ctg}^2 a \) как \( \frac{\operatorname{cos}^2 a}{\operatorname{sin}^2 a} \).
2. Подставим: \( \left(\frac{\operatorname{sin}^2 a}{\operatorname{cos}^2 a} - \operatorname{sin}^2 a\right) \frac{\operatorname{cos}^2 a}{\operatorname{sin}^2 a} \)
3. Вынесем \( \operatorname{sin}^2 a \) за скобки: \( \operatorname{sin}^2 a \left(\frac{1}{\operatorname{cos}^2 a} - 1\right) \frac{\operatorname{cos}^2 a}{\operatorname{sin}^2 a} \)
4. Сократим \( \operatorname{sin}^2 a \): \( \left(\frac{1}{\operatorname{cos}^2 a} - 1\right) \operatorname{cos}^2 a \)
5. Приведём к общему знаменателю в скобках: \( \left(\frac{1 - \operatorname{cos}^2 a}{\operatorname{cos}^2 a}\right) \operatorname{cos}^2 a \)
6. Используем основное тригонометрическое тождество \( \operatorname{sin}^2 a + \operatorname{cos}^2 a = 1 \), откуда \( 1 - \operatorname{cos}^2 a = \operatorname{sin}^2 a \).
7. Подставим: \( \frac{\operatorname{sin}^2 a}{\operatorname{cos}^2 a} \operatorname{cos}^2 a \)
8. Сократим \( \operatorname{cos}^2 a \): \( \operatorname{sin}^2 a \)

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.