6. В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью р=0,5. Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний наступит ровно 2 успеха.

Краткая запись:

• Тип испытаний: Бернулли.
• Вероятность успеха (p): 0.5
• Вероятность неудачи (q): 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5
• Количество испытаний (n): 4
• Количество успехов (k): 2
• Найти: Вероятность ровно 2 успехов.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиальной вероятности:

\[ P_n(k) = C_n^k × p^k × q^{n-k} \]

Где:

• $$P_n(k)$$ — вероятность получить ровно k успехов в n испытаниях.
• $$C_n^k$$ — число сочетаний из n по k, которое вычисляется по формуле: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.
• $$p$$ — вероятность успеха в одном испытании.
• $$q$$ — вероятность неудачи в одном испытании ($$q = 1-p$$).
• $$n$$ — общее количество испытаний.
• $$k$$ — желаемое количество успехов.

Подставим наши значения:

• $$n = 4$$
• $$k = 2$$
• $$p = 0.5$$
• $$q = 0.5$$

1. Вычислим число сочетаний $$C_4^2$$:

\[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2 × 1)(2 × 1)} = \frac{24}{4} = 6 \]

2. Рассчитаем $$p^k$$ и $$q^{n-k}$$:

\[ p^k = (0.5)^2 = 0.25 \] \[ q^{n-k} = (0.5)^{4-2} = (0.5)^2 = 0.25 \]

3. Подставим все значения в формулу биномиальной вероятности:

\[ P_4(2) = C_4^2 × p^2 × q^2 = 6 × 0.25 × 0.25 \] \[ P_4(2) = 6 × 0.0625 = 0.375 \]

Таким образом, вероятность того, что в серии из 4 испытаний наступит ровно 2 успеха, равна 0.375.

Ответ: 0.375