6. В мешке находится 28 белых перчаток и 31 чёрная перчатка. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

6. Решение:

Давайте проследим за количеством перчаток каждого цвета.

• Начало: Белых - 28, Чёрных - 31.

Рассмотрим варианты действий:

1. Достали пару одного цвета (например, 2 белые):
• Ушло 2 белых.
• Положили 1 чёрную.
• Итог: Белых - 28 - 2 = 26, Чёрных - 31 + 1 = 32. (Количество белых уменьшилось на 2, чёрных увеличилось на 1).
2. Достали пару одного цвета (например, 2 чёрные):
• Ушло 2 чёрные.
• Положили 1 чёрную.
• Итог: Белых - 28, Чёрных - 31 - 2 + 1 = 30. (Количество белых не изменилось, чёрных уменьшилось на 1).
3. Достали пару разного цвета (1 белая и 1 чёрная):
• Ушла 1 белая, 1 чёрная.
• Положили 1 белую.
• Итог: Белых - 28 - 1 + 1 = 28, Чёрных - 31 - 1 = 30. (Количество белых не изменилось, чёрных уменьшилось на 1).

Наблюдение:

• Если достаем пару белых, то количество белых уменьшается на 2 (чётное число), а количество чёрных увеличивается на 1. Общее количество перчаток уменьшается на 1.
• Если достаем пару чёрных, то количество чёрных уменьшается на 1 (чётное - 2 + 1 = 1). Общее количество перчаток уменьшается на 1.
• Если достаем пару разных, то количество белых не меняется, а чёрных уменьшается на 1. Общее количество перчаток уменьшается на 1.

Ключевой момент: В любой ситуации, если мы достаем пару белых, количество белых перчаток остается четным (28 -> 26 -> 24 ... 2 -> 0). Если мы достаем пару черных или пару разных, то количество белых перчаток не меняется.

Поскольку изначальное количество белых перчаток (28) четное, и ни одно из действий не делает его нечетным, оно всегда будет оставаться четным. Таким образом, в конце концов, количество белых перчаток станет 0. Когда останется только одна перчатка, это будет черная.

Альтернативный подход:

Заметим, что общее количество перчаток в мешке уменьшается на 1 в каждом шаге. Значит, финальная перчатка будет последней из 59 (28+31) - 1 = 58 пар. Останется 1 перчатка.

Рассмотрим чётность количества белых перчаток. Изначально их 28 (чётное).

• Если достали 2 белые: -2 белых, +1 чёрная. Чётность белых не меняется (чётное - чётное = чётное).
• Если достали 2 чёрные: -2 чёрных, +1 чёрная. Чётность белых не меняется.
• Если достали 1 белую и 1 чёрную: -1 белая, -1 чёрная, +1 белая. Чётность белых не меняется (чётное - 1 + 1 = чётное).

Так как количество белых перчаток всегда остаётся чётным, последняя оставшаяся перчатка не может быть белой (ведь тогда их было бы 0). Следовательно, последняя перчатка будет чёрной.

Ответ: Чёрная