6. Упростите выражение: 1/(√15 - √34)²

Упрощение выражения:

Нам нужно упростить выражение $$\frac{1}{(\sqrt{15} - \sqrt{34})^2}$$.

Сначала раскроем квадрат разности в знаменателе:

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Применяя эту формулу, где $$a = \sqrt{15}$$ и $$b = \sqrt{34}$$:

\[ (\sqrt{15} - \sqrt{34})^2 = (\sqrt{15})^2 - 2(\sqrt{15})(\sqrt{34}) + (\sqrt{34})^2 \]

\[ = 15 - 2\sqrt{15 \times 34} + 34 \]

\[ = 15 + 34 - 2\sqrt{510} \]

\[ = 49 - 2\sqrt{510} \]

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

\[ \frac{1}{49 - 2\sqrt{510}} \]

Чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть на $$49 + 2\sqrt{510}$$:

\[ \frac{1}{49 - 2\sqrt{510}} \times \frac{49 + 2\sqrt{510}}{49 + 2\sqrt{510}} = \frac{49 + 2\sqrt{510}}{(49 - 2\sqrt{510})(49 + 2\sqrt{510})} \]

В знаменателе используем формулу разности квадратов: $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$. Здесь $$a = 49$$ и $$b = 2\sqrt{510}$$.

\[ 49^2 - (2\sqrt{510})^2 = 2401 - (4 \times 510) \]

\[ = 2401 - 2040 \]

\[ = 361 \]

Теперь подставим это значение в дробь:

\[ \frac{49 + 2\sqrt{510}}{361} \]

Ответ: $$\frac{49 + 2\sqrt{510}}{361}$$.