6. Углы треугольника АВС относятся так <A:<B:<C = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 14. Найдите отрезок МС.

Решение:

Пусть \( \angle A = x \). Тогда \( \angle B = 2x \) и \( \angle C = 3x \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( x + 2x + 3x = 180° \)

\( 6x = 180° \)

\( x = 30° \).

Значит, \( \angle A = 30° \), \( \angle B = 2 \cdot 30° = 60° \), \( \angle C = 3 \cdot 30° = 90° \).

BM — биссектриса угла ABC, значит, \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \).

Рассмотрим треугольник MBC:

\( \angle MBC = 30° \)

\( \angle BCM = \angle C = 90° \)

\( \angle BMC = 180° - (30° + 90°) = 180° - 120° = 60° \).

Треугольник MBC — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике MBC напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Гипотенуза — BM, катет — MC.

\( \angle MBC = 30° \), следовательно, \( MC = \frac{1}{2} BM \).

По условию \( BM = 14 \).

\( MC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \).

Ответ: 7.