6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны основания равны \( a = 3 \) см и \( b = 4 \) см. Высота параллелепипеда равна \( h \). Диагональ параллелепипеда \( d \). Угол между диагональю и плоскостью основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

1. Найдем диагональ основания \( d_{осн} \) по теореме Пифагора: \( d_{осн}^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \) => \( d_{осн} = 5 \) см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания, высотой параллелепипеда и диагональю параллелепипеда. Угол между диагональю \( d \) и плоскостью основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).
3. В этом треугольнике \( tg(\alpha) = \frac{h}{d_{осн}} \).
4. \( tg(45^{\circ}) = 1 \).
5. \( 1 = \frac{h}{5} \) => \( h = 5 \) см.
6. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( S_{полн} = 2(ab + ah + bh) \).
7. \( S_{полн} = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) \)
8. \( S_{полн} = 2(12 + 15 + 20) \)
9. \( S_{полн} = 2(47) \)
10. \( S_{полн} = 94 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 94 см².