1. Решить уравнения: a) log₂(x + 3) = −1 б) 3^(x^2) = 2^(7-x) в) 2sin²x − 3sinx + 1 = 0

Решение:

а) log₂(x + 3) = −1

1. По определению логарифма: \( x + 3 = 2^{-1} \)
2. \( x + 3 = \frac{1}{2} \)
3. \( x = \frac{1}{2} - 3 \)
4. \( x = -2.5 \)

б) 3^(x^2) = 2^(7-x)

Это трансцендентное уравнение, которое решается численными методами или графически. Точное аналитическое решение в элементарных функциях затруднено.

в) 2sin²x − 3sinx + 1 = 0

1. Введем замену \( y = sinx \). Уравнение примет вид: \( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \)
2. Решим квадратное уравнение: \( y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \)
3. \( y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \)
4. \( y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \)
5. Подставим обратно \( y = sinx \):
6. \( sinx = 1 \) => \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
7. \( sinx = \frac{1}{2} \) => \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \)

Ответ: а) \( x = -2.5 \); б) Решение численное; в) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).