3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: y = x³ - 3x + 4.

Решение:

1. Исследование на монотонность:

1. Найдем первую производную функции: \( y' = (x^3 - 3x + 4)' = 3x^2 - 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 3 = 0 \)
3. \( 3(x^2 - 1) = 0 \)
4. \( x^2 - 1 = 0 \)
5. \( x^2 = 1 \)
6. \( x = 1 \) и \( x = 1 \).
7. Рассмотрим интервалы: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 1) \), \( (1; +\infty) \).
8. На интервале \( (-\infty; -1) \): возьмем \( x = -2 \). \( y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
9. На интервале \( (-1; 1) \): возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
10. На интервале \( (1; +\infty) \): возьмем \( x = 2 \). \( y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

2. Исследование на экстремум:

1. В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка локального максимума.
2. \( y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6 \).
3. В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка локального минимума.
4. \( y_{min} = y(1) = (1)^3 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \).

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (1; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( (-1; 1) \). Точка максимума: (-1; 6). Точка минимума: (1; 2).