6. Решите уравнение: (8y - 5) / y = 9y / (y + 2)

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( y \neq 0 \) и \( y \neq -2 \).
2. Приведём уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{(8y-5)(y+2)}{y(y+2)} = \frac{9y \cdot y}{y(y+2)} \]
3. Раскроем скобки в числителе левой части: \[ (8y-5)(y+2) = 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 8y^2 + 11y - 10 \]
4. Приравняем числители, так как знаменатели равны: \[ 8y^2 + 11y - 10 = 9y^2 \]
5. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 9y^2 - 8y^2 - 11y + 10 = 0 \] \[ y^2 - 11y + 10 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81 \]
7. Найдём корни: \[ y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
8. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. \( y = 10 \) и \( y = 1 \) не равны \( 0 \) и \( -2 \), значит, оба корня подходят.

Ответ: y₁ = 10, y₂ = 1.