6. Решите совокупность неравенств: \( \begin{cases} x^2 - 9 < 0 \\ [3x^2 - 8x + 5 \leq 0] \end{cases} \)

Краткое пояснение:

Для решения совокупности неравенств нужно найти решения каждого неравенства отдельно и объединить их.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Решаем первое неравенство \( x^2 - 9 < 0 \). Это эквивалентно \( (x-3)(x+3) < 0 \). Корни уравнения \( (x-3)(x+3) = 0 \) равны \( x = 3 \) и \( x = -3 \). Поскольку ветви параболы \( y = x^2 - 9 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 9 < 0 \) выполняется на интервале между корнями: \( x \in (-3; 3) \).
2. Шаг 2: Решаем второе неравенство \( 3x^2 - 8x + 5 \leq 0 \). Найдем дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4 \). Корни уравнения \( 3x^2 - 8x + 5 = 0 \) по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) равны: \( x_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \) и \( x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \). Поскольку коэффициент при \( x^2 \) (равный 3) положителен, парабола \( y = 3x^2 - 8x + 5 \) направлена ветвями вверх. Неравенство \( 3x^2 - 8x + 5 \leq 0 \) выполняется на отрезке между корнями: \( x \in [1; \frac{5}{3}] \).
3. Шаг 3: Находим объединение решений первого и второго неравенств. Первое неравенство даёт \( x \in (-3; 3) \), второе — \( x \in [1; \frac{5}{3}] \). Объединение этих промежутков: \( (-3; 3) \cup [1; \frac{5}{3}] \). Поскольку \( [1; \frac{5}{3}] \) является подмножеством \( (-3; 3) \) (так как \( -3 < 1 \) и \( \frac{5}{3} < 3 \)), объединение будет равно \( (-3; 3) \).

Ответ: \( (-3; 3) \)