5. Решите систему неравенств: \( \begin{cases} x^2 - 3x + 7 > 0 \\ x^2 \leq 25 \end{cases} \)

Краткое пояснение:

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство отдельно и найти общее решение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство \( x^2 - 3x + 7 > 0 \). Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 \). Поскольку \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) (равный 1) положителен, парабола \( y = x^2 - 3x + 7 \) всегда находится выше оси x. Следовательно, неравенство \( x^2 - 3x + 7 > 0 \) выполняется для всех действительных значений \( x \), то есть \( x \in (-\infty; +\infty) \).
2. Шаг 2: Рассмотрим второе неравенство \( x^2 \leq 25 \). Это эквивалентно \( x^2 - 25 \leq 0 \), или \( (x-5)(x+5) \leq 0 \). Корни уравнения \( (x-5)(x+5) = 0 \) равны \( x = 5 \) и \( x = -5 \). Так как ветви параболы \( y = x^2 - 25 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 25 \leq 0 \) выполняется на отрезке между корнями: \( x \in [-5; 5] \).
3. Шаг 3: Находим пересечение решений обоих неравенств. Решение первого неравенства — \( (-\infty; +\infty) \), решение второго — \( [-5; 5] \). Пересечением будет \( [-5; 5] \).

Ответ: \( [-5; 5] \)