6. Решить неравенство:

Решение:

Требуется решить логарифмическое неравенство \( \log_7 (2 - 3x) \ge -1 \).

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть больше нуля.

\[ 2 - 3x > 0 \]\[ -3x > -2 \]\[ x < \frac{2}{3} \]

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \( 7 > 1 \), знак неравенства сохраняется:

\[ 2 - 3x \ge 7^{-1} \]\[ 2 - 3x \ge \frac{1}{7} \]

Перенесём 2 в правую часть:

\[ -3x \ge \frac{1}{7} - 2 \]\[ -3x \ge \frac{1 - 14}{7} \]\[ -3x \ge -\frac{13}{7} \]

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:

\[ x \le \frac{-13}{7} : (-3) \]\[ x \le \frac{-13}{7} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \]\[ x \le \frac{13}{21} \]

Теперь учтем ОДЗ. Нам нужно пересечение условий \( x < \frac{2}{3} \) и \( x \le \frac{13}{21} \).

Сравним \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{13}{21} \):

\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} \]

Так как \( \frac{13}{21} < \frac{14}{21} \), то \( \frac{13}{21} < \frac{2}{3} \). Следовательно, условие \( x \le \frac{13}{21} \) является более строгим.

Ответ: \( x \le \frac{13}{21} \).