5. Решить показательное уравнение:

Решение:

Требуется решить показательное уравнение \( 2^{-x^2-2x+3} = 1 \).

Вспомним, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Следовательно, мы можем записать 1 как \( 2^0 \).

\[ 2^{-x^2-2x+3} = 2^0 \]

Так как основания степеней равны, приравняем показатели степеней:

\[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \]

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при \( x^2 \) стал положительным:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Ответ: \( x = 1, x = -3 \).