6. Реши задачу: Три друга - Антон, Борис и Виктор - играют в игру. В шляпу кладут 3 бумажки: на одной написано "Выиграл", на двух - "Проиграл". Каждый по очереди вытягивает бумажку (не возвращая ее обратно). Антон тянет первым, Борис - вторым, Виктор - третьим. У кого больше шансов выиграть? Объясни свой ответ, построив дерево вероятностей.

Решение:

В шляпе 3 бумажки: 1 "Выиграл" (В), 2 "Проиграл" (П).

Дерево вероятностей:

1. Антон (тянет первым):

• Вероятность вытянуть "Выиграл" (Антон выигрывает): P(А=В) = 1/3.
• Вероятность вытянуть "Проиграл" (Антон проигрывает): P(А=П) = 2/3.

2. Борис (тянет вторым, если Антон не выиграл):

Если Антон вытянул "Проиграл", в шляпе остаются 2 бумажки: 1 "Выиграл", 1 "Проиграл".

• Вероятность, что Борис вытянет "Выиграл" (Борис выигрывает, при условии, что Антон проиграл): P(Б=В | А=П) = 1/2.
• Вероятность, что Борис вытянет "Проиграл" (Борис проигрывает, при условии, что Антон проиграл): P(Б=П | А=П) = 1/2.

3. Виктор (тянет третьим, если Антон и Борис не выиграли):

Если Антон и Борис вытянули "Проиграл", в шляпе остается 1 бумажка: "Выиграл".

• Вероятность, что Виктор вытянет "Выиграл" (Виктор выигрывает, при условии, что Антон и Борис проиграли): P(В=В | А=П, Б=П) = 1/1 = 1.

Расчет вероятностей выигрыша для каждого:

• Вероятность выигрыша Антона: P(А=В) = 1/3.
• Вероятность выигрыша Бориса: Борис может выиграть только если Антон проиграл. P(Б=В) = P(А=П) * P(Б=В | А=П) = (2/3) * (1/2) = 2/6 = 1/3.
• Вероятность выигрыша Виктора: Виктор может выиграть только если Антон и Борис проиграли. P(В=В) = P(А=П) * P(Б=П | А=П) * P(В=В | А=П, Б=П) = (2/3) * (1/2) * 1 = 2/6 = 1/3.

Объяснение:

Несмотря на разный порядок ходов, вероятность выигрыша для каждого из друзей одинакова и составляет 1/3. Это происходит потому, что изначально имеется только одна выигрышная бумажка, и каждый из игроков имеет равные шансы ее вытянуть, независимо от того, когда он ходит.

Ответ: Шансы на выигрыш у Антона, Бориса и Виктора одинаковы и составляют 1/3 у каждого.