6. Расстояние от поселка до турбазы составляет 24 км по реке. В 10-00 моторная лодка вышла на турбазу и в 17-00 этого же дня вернулась обратно. Какова собственная скорость моторной лодки, если скорость течения реки 3 км/ч и стоянка на турбазе длилась 1 час?

Решение:

1. Найдём общее время в пути: лодка вышла в 10:00 и вернулась в 17:00. Общее время = 17:00 - 10:00 = 7 часов.
2. Вычтем время стоянки: 7 часов - 1 час (стоянка) = 6 часов. Это время лодка была в движении.
3. Найдём время движения в одну сторону: 6 часов / 2 = 3 часа (время движения к турбазе и обратно).
4. Обозначим переменные:
• Пусть \(v\) — собственная скорость моторной лодки (км/ч).
• Скорость течения реки \(v_{теч} = 3\) км/ч.
• Расстояние \(S = 24\) км.
5. Составим уравнения для движения:
• Время движения по течению (туда): \(t_1 = \frac{S}{v + v_{теч}} = \frac{24}{v+3}\).
• Время движения против течения (обратно): \(t_2 = \frac{S}{v - v_{теч}} = \frac{24}{v-3}\).
• Общее время движения: \(t_1 + t_2 = 6\) часов.
6. Подставим выражения для времени в общее уравнение:
• \(\frac{24}{v+3} + \frac{24}{v-3} = 6\)
7. Решим уравнение:
• Приведём к общему знаменателю \((v+3)(v-3)\): \(\frac{24(v-3) + 24(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 6\)
• \(\frac{24v - 72 + 24v + 72}{v^2 - 9} = 6\)
• \(\frac{48v}{v^2 - 9} = 6\)
• \(48v = 6(v^2 - 9)\)
• \(48v = 6v^2 - 54\)
• \(6v^2 - 48v - 54 = 0\)
• Разделим на 6: \(v^2 - 8v - 9 = 0\)
• Найдём дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\). \( \sqrt{D} = 10 \).
• Найдём корни:
• \(v_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
• \(v_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
• Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v = 9\) км/ч.

Ответ: 9 км/ч