6. Отметьте в координатной плоскости точки А(-4;0), B(2;6), C(-4;3), D(4;- 1). Проведите луч АВ и отрезок CD. Найдите координаты точки пересечения луча АВ и отрезка CD.

Решение:

1. Построение точек и линий:
Отметим точки A(-4;0), B(2;6), C(-4;3), D(4;-1) на координатной плоскости.
Проведем луч AB, начиная от точки A и проходящий через точку B.
Проведем отрезок CD, соединяющий точки C и D.

2. Нахождение уравнения прямой AB:
Найдем угловой коэффициент прямой AB:
\( m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 0}{2 - (-4)} = \frac{6}{6} = 1 \)
Уравнение прямой AB (вид \( y = mx + b \)):
\( y - y_A = m_{AB}(x - x_A) \)
\( y - 0 = 1(x - (-4)) \)
\( y = x + 4 \)

3. Нахождение уравнения прямой CD:
Найдем угловой коэффициент прямой CD:
\( m_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-1 - 3}{4 - (-4)} = \frac{-4}{8} = -0,5 \)
Уравнение прямой CD (вид \( y = mx + b \)):
\( y - y_C = m_{CD}(x - x_C) \)
\( y - 3 = -0,5(x - (-4)) \)
\( y - 3 = -0,5(x + 4) \)
\( y - 3 = -0,5x - 2 \)
\( y = -0,5x + 1 \)

4. Нахождение точки пересечения:
Приравниваем уравнения прямых AB и CD:
\( x + 4 = -0,5x + 1 \)
\( x + 0,5x = 1 - 4 \)
\( 1,5x = -3 \)
\( x = \frac{-3}{1,5} = -2 \)
Подставим \( x = -2 \) в уравнение прямой AB (или CD), чтобы найти \( y \):
\( y = x + 4 = -2 + 4 = 2 \)
Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (-2; 2).

5. Проверка принадлежности отрезку CD:
Координата \( x = -2 \) находится между \( x_C = -4 \) и \( x_D = 4 \).
Координата \( y = 2 \) находится между \( y_C = 3 \) и \( y_D = -1 \) (поскольку \( -1 < 2 < 3 \)).
Следовательно, точка пересечения (-2; 2) принадлежит отрезку CD.

6. Проверка принадлежности лучу AB:
Луч AB начинается в точке A(-4;0) и уходит в направлении точки B(2;6). Координата \( x = -2 \) больше \( x_A = -4 \) и \( x_B = 2 \) (это неверно, x = -2 < x_B=2). Точка А(-4;0), В(2;6). Угловой коэффициент 1. Уравнение y = x + 4. При x = -2, y = -2+4 = 2. Точка (-2, 2) лежит на прямой AB. Так как -4 < -2 < 2, точка (-2, 2) лежит на луче AB.

Ответ: Координаты точки пересечения луча AB и отрезка CD равны (-2; 2).