6. Найдите значение выражения $$\frac{1}{24} + \frac{1}{56} - \frac{1}{20} + \frac{1}{21}$$

Задание 6: Вычисление значения выражения

Дано: выражение \( \frac{1}{24} + \frac{1}{56} - \frac{1}{20} + \frac{1}{21} \)

Найти: значение выражения.

Решение:

1. Для начала найдем общий знаменатель для всех дробей. Разложим знаменатели на простые множители:
• \( 24 = 2^3 \times 3 \)
• \( 56 = 2^3 \times 7 \)
• \( 20 = 2^2 \times 5 \)
• \( 21 = 3 \times 7 \)
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет содержать все простые множители в наивысшей степени:
• \( \text{НОЗ} = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 8 \times 3 \times 5 \times 7 = 840 \)
3. Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 840:
• \( \frac{1}{24} = \frac{1 \times 35}{24 \times 35} = \frac{35}{840} \) (так как \( 840 / 24 = 35 \))
• \( \frac{1}{56} = \frac{1 \times 15}{56 \times 15} = \frac{15}{840} \) (так как \( 840 / 56 = 15 \))
• \( \frac{1}{20} = \frac{1 \times 42}{20 \times 42} = \frac{42}{840} \) (так как \( 840 / 20 = 42 \))
• \( \frac{1}{21} = \frac{1 \times 40}{21 \times 40} = \frac{40}{840} \) (так как \( 840 / 21 = 40 \))
4. Подставим приведенные дроби обратно в выражение:
• \( \frac{35}{840} + \frac{15}{840} - \frac{42}{840} + \frac{40}{840} \)
5. Сложим и вычтем числители:
• \( \frac{(35 + 15) - 42 + 40}{840} = \frac{50 - 42 + 40}{840} = \frac{8 + 40}{840} = \frac{48}{840} \)
6. Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 24:
• \( 48 = 2 \times 24 \)
• \( 840 = 35 \times 24 \)
• \( \frac{48}{840} = \frac{2 \times 24}{35 \times 24} = \frac{2}{35} \)

Ответ: $$\frac{2}{35}$$