6. Найдите число целых значений переменной, при которых имеет смысл выражение arcsin(x² - x - 1).

Решение:

• Выражение $$arcsin(y)$$ имеет смысл, когда $$-1 ≤ y ≤ 1$$.
• В нашем случае $$y = x^2 - x - 1$$.
• Значит, нужно решить неравенство: $$-1 ≤ x^2 - x - 1 ≤ 1$$.
• Это неравенство можно разбить на два:
• 1) $$x^2 - x - 1 ≥ -1$$
• $$x^2 - x ≥ 0$$
• $$x(x-1) ≥ 0$$
• Решения: $$x ≤ 0$$ или $$x ≥ 1$$.
• 2) $$x^2 - x - 1 ≤ 1$$
• $$x^2 - x - 2 ≤ 0$$
• Найдем корни уравнения $$x^2 - x - 2 = 0$$.
• Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$.
• $$x_1 = (1 - 3)/2 = -1$$, $$x_2 = (1 + 3)/2 = 2$$.
• Неравенство $$x^2 - x - 2 ≤ 0$$ выполняется при $$-1 ≤ x ≤ 2$$.
• Объединяем решения обоих неравенств:
• ($$x ≤ 0$$ или $$x ≥ 1$$) И ($$-1 ≤ x ≤ 2$$).
• Пересечение интервалов: $$[-1, 0] ∪ [1, 2]$$.
• Целые значения $$x$$ в этих интервалах: $$-1, 0, 1, 2$$.
• Всего 4 целых значения.

Ответ: 4