6. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а внутри треугольника — точка $D$. $EM\perp AC$ ($M\in AC$), $AM=CM$, $\angle B=45^\circ$, $\angle CDA=90^\circ$, $\angle DCA=60^\circ$. Докажите, что $EM=DC$.

Question

6. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а внутри треугольника — точка $D$. $EM\perp AC$ ($M\in AC$), $AM=CM$, $\angle B=45^\circ$, $\angle CDA=90^\circ$, $\angle DCA=60^\circ$. Докажите, что $EM=DC$.

$Фото задания: 6. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а внутри треугольника — точка $D$. \(EM\perp…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как треугольник $ABC$ прямоугольный и $\angle B=45^\circ$, то $\angle A=45^\circ$, следовательно, $AC=BC$. Условие $AM=CM$ означает, что $M$ — середина $AC$. Поскольку $EM\perp AC$, отрезок $EM$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому $EM=\frac{BC}{2}=\frac{AC}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. По условию $\angle CDA=90^\circ$, $\angle DCA=60^\circ$, значит $\angle CAD=30^\circ$. В треугольнике с углами $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Здесь $DC$ лежит напротив угла $30^\circ$, а гипотенуза равна $AC$. Поэтому $DC=\frac{AC}{2}$.

Следовательно, $EM=\frac{AC}{2}=DC$.

Ответ: $EM=DC$.