4. В треугольнике $DEF$ на сторонах $DE$ и $EF$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры $KH$ и $LP$ к прямой $DF$, причём $KH=LP$, $\angle DKH=\angle LPE$. Докажите, что $DE=EF$.

Question

4. В треугольнике $DEF$ на сторонах $DE$ и $EF$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры $KH$ и $LP$ к прямой $DF$, причём $KH=LP$, $\angle DKH=\angle LPE$. Докажите, что $DE=EF$.

$Фото задания: 4. В треугольнике $DEF$ на сторонах $DE$ и $EF$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. Из этих точек опущены…$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим прямоугольные треугольники $DHK$ и $EPL$. В них $\angle DHK=\angle EPL=90^\circ$, $KH=LP$, а по условию $\angle DKH=\angle LPE$. Следовательно, треугольники равны по катету и острому углу.

Отсюда $DK=EL$.

Так как $K\in DE$, $L\in EF$, имеем $DE=DK+KE$, $EF=EL+LF$. Из равенства соответствующих треугольников также получаем $DH=EP$, поэтому углы наклона отрезков $DK$ и $EL$ к прямой $DF$ равны. Значит, соответствующие расстояния от точек $K$ и $L$ до концов основания равны, то есть $KE=LF$. Тогда

\[DE=DK+KE=EL+LF=EF.\]

Ответ: $DE=EF$.