6. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение:

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( x \) км/ч.

1. Скорость лодки по течению: \( x + 3 \) км/ч.
2. Скорость лодки против течения: \( x - 3 \) км/ч.
3. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{36}{x+3} \) часов.
4. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{36}{x-3} \) часов.
5. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.
6. Составим и решим уравнение:
\[ \frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5 \]
7. Приведём дроби к общему знаменателю \( (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \):
\[ \frac{36(x-3) + 36(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 5 \]
8. Раскроем скобки и упростим числитель:
\[ \frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5 \] \[ \frac{72x}{x^2 - 9} = 5 \]
9. Перенесём всё в одну сторону и приведём к квадратному уравнению:
\[ 72x = 5(x^2 - 9) \] \[ 72x = 5x^2 - 45 \] \[ 5x^2 - 72x - 45 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \)
• \( x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \)
• \( x_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)
11. Так как скорость лодки не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 15 км/ч.