5. Упростите выражение \( \frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1} \) : \( \frac{3b+1}{2b-2} \)

Решение:

Упростим данное выражение по действиям.

1. Первое действие: вычитание дробей в первой скобке.
• Приведём дроби к общему знаменателю \( (b-1)(b+1) \):
\[ \frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1} = \frac{(b+1)(b+1)}{(b-1)(b+1)} - \frac{b(b-1)}{(b+1)(b-1)} = \frac{b^2 + 2b + 1 - (b^2 - b)}{(b-1)(b+1)} \]
• Раскроем скобки и приведём подобные:
\[ \frac{b^2 + 2b + 1 - b^2 + b}{(b-1)(b+1)} = \frac{3b+1}{(b-1)(b+1)} \]
• Заметим, что \( (b-1)(b+1) = b^2 - 1 \).
2. Второе действие: деление.
• Запишем деление как умножение на обратную дробь:
\[ \frac{3b+1}{b^2-1} : \frac{3b+1}{2(b-1)} = \frac{3b+1}{b^2-1} \cdot \frac{2(b-1)}{3b+1} \]
• Сократим дробь. Обратите внимание, что \( b^2 - 1 = (b-1)(b+1) \):
\[ \frac{\cancel{3b+1}}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{2(b-1)}{\cancel{3b+1}} = \frac{2(b-1)}{(b-1)(b+1)} \]
• Сократим \( (b-1) \):
\[ \frac{2}{b+1} \]

Ответ: \( \frac{2}{b+1} \).