6. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 76°. Найдите < ABO

Решение:

Пусть точки касания касательных к окружности с центром O — это A и B. Касательные пересекаются в точке C, так что \( \angle ACB = 76^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник CAOB. OA и OB — радиусы, поэтому \( OA \perp CA \) и \( OB \perp CB \). Следовательно, \( \angle CAO = 90^{\circ} \) и \( \angle CBO = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \):

\( \angle ACB + \angle CAO + \angle AOB + \angle CBO = 360^{\circ} \)

\( 76^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( 256^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 256^{\circ} \)

\( \angle AOB = 104^{\circ} \)

Теперь рассмотрим \( \triangle AOB \). Так как OA и OB — радиусы, \( OA = OB \), значит, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Углы при основании \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \) равны.

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 104^{\circ} + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} - 104^{\circ} \)

\( \angle OAB + \angle OBA = 76^{\circ} \)

Так как \( \angle OAB = \angle OBA \), то:

\( 2 \cdot \angle OBA = 76^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{76^{\circ}}{2} \)

\( \angle OBA = 38^{\circ} \)

Ответ: \( \angle ABO = 38^{\circ} \).