6) Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 152°. Найдите угол ВАО.

Решение:

Пусть \( \angle CAB = 152° \) — угол между касательными. Центральный угол \( \angle AOB \) равен \( 180° - \angle CAB = 180° - 152° = 28° \). Треугольник \( \triangle AOB \) — равнобедренный, так как \( OA = OB \) — радиусы. Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 28°}{2} = \frac{152°}{2} = 76° \). Так как \( OA \) — радиус, а \( CA \) — касательная, то \( \angle OAC = 90° \). Угол \( \angle OAB \) является частью \( \angle OAC \). Угол \( \angle BAC \) — это угол между касательными, т.е. \( 152° \). Но \( \angle BAC \) не может быть больше \( 180° \). Предположим, что \( 152° \) — это величина большей дуги \( \overset{\f{\LARGE{A}}\sim}B\text{ }\small(большая)\ \) . Тогда меньшая дуга \( \overset{\f{\LARGE{A}}\sim}B\text{ }\small(меньшая)\ \) = \( 360° - 152° = 208° \). Угол между касательными равен \( \frac{208° - 152°}{2} = \frac{56°}{2} = 28° \). Таким образом, угол между касательными равен \( 28° \). Тогда \( \angle CAB = 28° \). Центральный \( \angle AOB = 180° - 28° = 152° \). Углы при основании \( \triangle AOB \) равны \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 152°}{2} = \frac{28°}{2} = 14° \). Таким образом, \( \angle OAB = 14° \). В задаче указано, что угол между касательными равен \( 152° \). Это означает, что \( \angle CAB = 152° \). Тогда центральный угол \( \angle AOB = 180° - 152° = 28° \). Треугольник \( \triangle AOB \) равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 28°}{2} = \frac{152°}{2} = 76° \). В задаче просят найти \( \angle BАО \) . \( \angle BАО = \angle OAB \) .

Ответ: 76°.