6. Докажите, что при любом целом у значение выражения 32y+(y-8)²-y(y-16) кратно 32.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( 32y + (y-8)^2 - y(y-16) \)

\( = 32y + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2) - (y^2 - 16y) \)

\( = 32y + (y^2 - 16y + 64) - y^2 + 16y \)

\( = 32y + y^2 - 16y + 64 - y^2 + 16y \)

Сгруппируем подобные члены:

\( = (y^2 - y^2) + (32y - 16y + 16y) + 64 \)

\( = 0 + 32y + 64 \)

\( = 32y + 64 \)

Вынесем общий множитель 32:

\( = 32(y + 2) \)

Так как \( y \) — целое число, то \( y + 2 \) также является целым числом. Следовательно, выражение \( 32(y + 2) \) делится на 32 без остатка, то есть кратно 32.

Что и требовалось доказать.