6. b) log4x+log₄(x-3) <1.

Решение:

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для данного логарифмического неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

\( x > 0 \)

\( x - 3 > 0 \implies x > 3 \)

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: \( x > 3 \).

Теперь решим само неравенство. Используем свойство логарифмов: \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \).

\( \log_4 (x(x-3)) < 1 \)

Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), мы можем снять знак логарифма, сохранив направление знака неравенства:

\( x(x-3) < 4^1 \)

\( x^2 - 3x < 4 \)

\( x^2 - 3x - 4 < 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).

Используя теорему Виета или дискриминант:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)

\( x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

Парабола \( y = x^2 - 3x - 4 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 4 \).

Теперь нужно учесть ОДЗ \( x > 3 \). Пересекая интервалы \( -1 < x < 4 \) и \( x > 3 \), получаем:

\( 3 < x < 4 \)

Ответ: \( 3 < x < 4 \).