6. b) log,x+log,(x-5)<1

Решение:

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для данного логарифмического неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

\( x > 0 \)

\( x - 5 > 0 \implies x > 5 \)

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: \( x > 5 \).

Теперь решим само неравенство. Используем свойство логарифмов: \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \).

\( \log_6 (x(x-5)) < 1 \)

Так как основание логарифма \( 6 > 1 \), мы можем снять знак логарифма, сохранив направление знака неравенства:

\( x(x-5) < 6^1 \)

\( x^2 - 5x < 6 \)

\( x^2 - 5x - 6 < 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \).

Используя теорему Виета или дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

\( x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)

Парабола \( y = x^2 - 5x - 6 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 6 \).

Теперь нужно учесть ОДЗ \( x > 5 \). Пересекая интервалы \( -1 < x < 6 \) и \( x > 5 \), получаем:

\( 5 < x < 6 \)

Ответ: \( 5 < x < 6 \).