5. a) log, (2x-1)+log, x > 0

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного логарифмического неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

\( 2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2} \)

\( x > 0 \)

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: \( x > \frac{1}{2} \).

Теперь решим само неравенство. Используем свойство логарифмов: \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \).

\( \log_5 ((2x-1) · x) > 0 \)

Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), мы можем снять знак логарифма, сохранив направление знака неравенства. Также, \( 0 = \log_5 1 \).

\( (2x-1)x > 5^0 \)

\( 2x^2 - x > 1 \)

\( 2x^2 - x - 1 > 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \).

Используя дискриминант:

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

\( x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)

\( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Парабола \( y = 2x^2 - x - 1 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( 2x^2 - x - 1 > 0 \) выполняется при \( x < -\frac{1}{2} \) или \( x > 1 \).

Теперь нужно учесть ОДЗ \( x > \frac{1}{2} \). Пересекая интервалы \( x < -\frac{1}{2} \) или \( x > 1 \) с \( x > \frac{1}{2} \), получаем:

\( x > 1 \)

Ответ: \( x > 1 \).