6) 25^x - 3 \(\cdot\) 5^x - 10 = 0

Решение:

Заменим \( 25^x \) на \( (5^2)^x = (5^x)^2 \).

Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 10 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

1. Найдём дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5 \)
3. \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2 \)

Так как \( y = 5^x \), то \( y \) должно быть больше нуля. Поэтому \( y_2 = -2 \) не подходит.

Рассмотрим \( y_1 = 5 \):

\[ 5^x = 5 \]

\[ 5^x = 5^1 \]

Следовательно, \( x = 1 \).

Ответ: x = 1.