4) 3^{2x} - 24 \(\cdot\) 3^x - 81 = 0;

Решение:

Заметим, что \( 3^{2x} = (3^x)^2 \).

Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 24y - 81 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

1. Найдём дискриминант: \( D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900 \)
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{24 + \sqrt{900}}{2} = \frac{24 + 30}{2} = 27 \)
3. \( y_2 = \frac{24 - \sqrt{900}}{2} = \frac{24 - 30}{2} = -3 \)

Так как \( y = 3^x \), то \( y \) должно быть больше нуля. Поэтому \( y_2 = -3 \) не подходит.

Рассмотрим \( y_1 = 27 \):

\[ 3^x = 27 \]

\[ 3^x = 3^3 \]

Следовательно, \( x = 3 \).

Ответ: x = 3.