3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \( 27^x \ge \left\(\frac{1}{3}\right\)^{x+2}; 2) (6-x)(x+1) > 0; 3) \(\log\)_{0,2} (x-1) > \(\log\)_{0,2} 4.

Решение:

1. 1) \( 27^x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} \)
   \[ (3^3)^x \ge (3^{-1})^{x+2} \]
   \[ 3^{3x} \ge 3^{-x-2} \]
   Так как основание степени \( 3 > 1 \), неравенство сохраняет знак:
   \[ 3x \ge -x - 2 \]
   \[ 4x \ge -2 \]
   \[ x \ge -\frac{1}{2} \]

2. 2) \( (6-x)(x+1) > 0 \)
   Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \( (6-x)(x+1) = 0 \) равны \( x = 6 \) и \( x = -1 \).
   Парабола \( y = (6-x)(x+1) = -x^2 + 5x + 6 \) ветвями вниз. Неравенство \( > 0 \) выполняется между корнями.
   \[ -1 < x < 6 \]

3. 3) \( \log_{0,2} (x-1) > \log_{0,2} 4 \)
   Так как основание логарифма \( 0,2 < 1 \), знак неравенства меняется.
   \[ x - 1 < 4 \]
   \[ x < 5 \]
   Кроме того, аргумент логарифма должен быть положительным:
   \[ x - 1 > 0 \]
   \[ x > 1 \]
   Объединяя условия \( x < 5 \) и \( x > 1 \), получаем:
   \[ 1 < x < 5 \]

Ответ: 1) \( x \ge -1/2 \); 2) \( -1 < x < 6 \); 3) \( 1 < x < 5 \).