6. (1 балл) Решите неравенство: 4^{5x+1} \(\geq\) (1/2)^{x-3}

Решение:

Приведём обе части неравенства к одному основанию. Так как \( 4 = 2^2 \) и \( 1/2 = 2^{-1} \), можем записать:

\( (2^2)^{5x+1} \geq (2^{-1})^{x-3} \)

\( 2^{2(5x+1)} \geq 2^{-1(x-3)} \)

\( 2^{10x+2} \geq 2^{-x+3} \)

Поскольку основание \( 2 > 1 \), приравниваем показатели степеней, сохраняя знак неравенства:

\( 10x + 2 \geq -x + 3 \)

Решим полученное линейное неравенство:

\( 10x + x \geq 3 - 2 \)

\( 11x \geq 1 \)

\( x \geq \frac{1}{11} \)

Ответ: \( x \geq \frac{1}{11} \)