5 Докажите, что при любых значениях x выражение принимает положитель- ные значения: x² - 10x + 29. x² + 8x + 19.

Доказательство для первого выражения:

1. Рассмотрим квадратный трехчлен \[ x^2 - 10x + 29 \]
2. Выделим полный квадрат:
\[ x^2 - 10x + 25 + 4 \] \[ (x - 5)^2 + 4 \]
3. Так как \[ (x - 5)^2 \] является квадратом, то оно всегда больше или равно нулю: \[ (x - 5)^2 ≥ 0 \]
4. Следовательно, \[ (x - 5)^2 + 4 ≥ 0 + 4 \] \[ (x - 5)^2 + 4 ≥ 4 \]
5. Таким образом, выражение \[ x^2 - 10x + 29 \] всегда больше или равно 4, а значит, принимает положительные значения.

Доказательство для второго выражения:

1. Рассмотрим квадратный трехчлен \[ x^2 + 8x + 19 \]
2. Выделим полный квадрат:
\[ x^2 + 8x + 16 + 3 \] \[ (x + 4)^2 + 3 \]
3. Так как \[ (x + 4)^2 \] является квадратом, то оно всегда больше или равно нулю: \[ (x + 4)^2 ≥ 0 \]
4. Следовательно, \[ (x + 4)^2 + 3 ≥ 0 + 3 \] \[ (x + 4)^2 + 3 ≥ 3 \]
5. Таким образом, выражение \[ x^2 + 8x + 19 \] всегда больше или равно 3, а значит, принимает положительные значения.

Вывод: Оба выражения принимают положительные значения при любых значениях x.