590. 2) Равнобедренный треугольник ABC, у которого | CA|=|CB| = b и АСВ = φ, вращается вокруг оси (AB). Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело вращения состоит из двух конусов с общей основой. Радиус этой основы — высота CD, проведённая из вершины C к основанию AB. Площадь поверхности тела равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: \( S = \pi CD AC + \pi CD BC \). Так как \( AC = BC = b \), то \( S = 2 \pi CD b \).

1. В равнобедренном треугольнике ABC (\( AC = BC = b \)) проведём высоту CD к основанию AB. CD является также медианой и биссектрисой.
2. В треугольнике ACD \( \angle ACD = \frac{\varphi}{2} \).
3. Радиус основания конусов \( CD = AC \cos(\angle ACD) = b \cos(\frac{\varphi}{2}) \).
4. Площадь поверхности тела вращения: \( S = 2 \pi \cdot (b \cos(\frac{\varphi}{2})) \cdot b = 2 \pi b^2 \cos(\frac{\varphi}{2}) \).

Ответ: \( 2 \pi b^2 \cos(\frac{\varphi}{2}) \).