590. 1) Прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом 30° вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \). Катет \( BC = a \). Треугольник вращается вокруг гипотенузы AB. Тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием.

1. Радиус основания конусов — это высота CD, проведённая к гипотенузе AB. Площадь поверхности такого тела равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: \( S = \pi BC AC + \pi AC BC \) (где \( AC \) и \( BC \) — образующие конусов, \( CD \) — радиус основания).
2. Известно, что \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \). Пусть \( BC = a \). Тогда \( AC = \frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{a}{1/2} = 2a \).
3. Гипотенуза \( AB = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \).
4. Площадь треугольника \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} a \cdot 2a = a^2 \).
5. Также площадь треугольника можно выразить через высоту к гипотенузе: \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{5} \cdot CD \).
6. Приравнивая два выражения для площади, найдём радиус \( CD \): \( a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{5} CD \implies CD = \frac{2a}{\sqrt{5}} \).
7. Площадь боковой поверхности первого конуса: \( S_1 = \pi CD AC = \pi \cdot \frac{2a}{\sqrt{5}} \cdot 2a = \frac{4\pi a^2}{\sqrt{5}} \).
8. Площадь боковой поверхности второго конуса: \( S_2 = \pi CD BC = \pi \cdot \frac{2a}{\sqrt{5}} \cdot a = \frac{2\pi a^2}{\sqrt{5}} \).
9. Общая площадь поверхности тела вращения: \( S = S_1 + S_2 = \frac{4\pi a^2}{\sqrt{5}} + \frac{2\pi a^2}{\sqrt{5}} = \frac{6\pi a^2}{\sqrt{5}} = \frac{6\pi a^2 \sqrt{5}}{5} \).

Ответ: \( \frac{6\pi a^2 \sqrt{5}}{5} \).