57. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, AC=36, MN=27. Площадь треугольника АВС равна 96. Найдите площадь треугольника MBN.

Дано:

• Треугольник ABC.
• MN || AC
• M ∈ AB, N ∈ BC
• AC = 36, MN = 27
• S_ABC = 96

Найти: S_MBN

Решение:

Так как MN || AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: ∠B общий, ∠BMN = ∠BAC как соответственные).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = \[ \frac{MN}{AC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \]

Тогда отношение площадей:

• \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]

Найдем площадь треугольника MBN:

• \[ S_{MBN} = S_{ABC} \times \frac{9}{16} = 96 \times \frac{9}{16} = 6 \times 9 = 54 \]

Ответ: 54