55. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, AB=54, AC=48, MN=40. Найдите АМ.

Дано:

• Треугольник ABC.
• MN || AC
• M ∈ AB, N ∈ BC
• AB = 54, AC = 48, MN = 40

Найти: AM

Решение:

Так как MN || AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, углы BMN и BAC соответственные при параллельных MN и AC и секущей AB).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

• \[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]

Подставим известные значения:

• \[ \frac{BM}{54} = \frac{40}{48} \]

Решим пропорцию:

• \[ BM = 54 \times \frac{40}{48} = 54 \times \frac{5}{6} = 9 \times 5 = 45 \]

Найдем AM:

• \[ AM = AB - BM = 54 - 45 = 9 \]

Ответ: 9