505 В городскую пожарную часть летом в будни в среднем поступает три вызова за сутки. Какова вероятность того, что при этих условиях за сутки поступит:

Решение:

Это задача на распределение Пуассона. Среднее число вызовов \(\lambda = 3\). Вероятность \(k\) вызовов равна \( P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \).

а) 5 вызовов;

\( P(5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 e^{-3}}{120} = 2,025 e^{-3} \)

б) не более 5 вызовов;

\( P(k \le 5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \)

\( P(0) = e^{-3} \)

\( P(1) = 3e^{-3} \)

\( P(2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!} = 4,5 e^{-3} \)

\( P(3) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!} = 4,5 e^{-3} \)

\( P(4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!} = 3,375 e^{-3} \)

\( P(5) = 2,025 e^{-3} \)

\( P(k \le 5) = e^{-3} (1 + 3 + 4,5 + 4,5 + 3,375 + 2,025) = 18,4 \cdot e^{-3} \)

в) от 2 до 5 вызовов?

\( P(2 \le k \le 5) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \)

\( P(2 \le k \le 5) = e^{-3} (4,5 + 4,5 + 3,375 + 2,025) = 14,4 \cdot e^{-3} \)

Ответ: а) \( 2,025 e^{-3} \); б) \( 18,4 e^{-3} \); в) \( 14,4 e^{-3} \).