504 В некотором протяжённом во времени случайном опыте наблюдается последовательность одинаковых независимых событий А, число которых подчиняется распределению Пуассона с параметром \(\lambda = 2,4\). Найдите вероятность того, что событие A:

Решение:

Это задача на распределение Пуассона. Вероятность события \(k\) раз равна \( P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \), где \(\lambda = 2,4\).

а) наступит ровно 1 раз;

\( P(1) = \frac{2,4^1 e^{-2,4}}{1!} = 2,4 \cdot e^{-2,4} \)

б) не наступит ни разу;

\( P(0) = \frac{2,4^0 e^{-2,4}}{0!} = e^{-2,4} \)

в) наступит ровно 4 раза;

\( P(4) = \frac{2,4^4 e^{-2,4}}{4!} = \frac{33,1776 \cdot e^{-2,4}}{24} \approx 1,3824 \cdot e^{-2,4} \)

г) наступит от 2 до 5 раз.

\( P(2 \le k \le 5) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \)

\( P(2) = \frac{2,4^2 e^{-2,4}}{2!} = \frac{5,76 \cdot e^{-2,4}}{2} = 2,88 \cdot e^{-2,4} \)

\( P(3) = \frac{2,4^3 e^{-2,4}}{3!} = \frac{13,824 \cdot e^{-2,4}}{6} = 2,304 \cdot e^{-2,4} \)

\( P(5) = \frac{2,4^5 e^{-2,4}}{5!} = \frac{79,62624 \cdot e^{-2,4}}{120} \approx 0,66355 \cdot e^{-2,4} \)

\( P(2 \le k \le 5) = e^{-2,4} (2,88 + 2,304 + 1,3824 + 0,66355) = 7,23 \cdot e^{-2,4} \)

Ответ: а) \( 2,4 e^{-2,4} \); б) \( e^{-2,4} \); в) \( \approx 1,3824 e^{-2,4} \); г) \( \approx 7,23 e^{-2,4} \).