501. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: a) \(\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\) б) \(\frac{9+3\sqrt{a}}{3+\sqrt{a}}\) в) \(\frac{1-2\sqrt{x}+4x}{1-2\sqrt{x}}\) г) \(\frac{a^2b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2}\)

Решение:

1. а) Числитель является разложением разности кубов \( (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 \), но с другим знаком посередине. \( x-\sqrt{xy}+y \). Знаменатель \( \sqrt{x}-\sqrt{y} \). Если умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{x}+\sqrt{y} \): \( \frac{(x-\sqrt{xy}+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x\sqrt{x}+x\sqrt{y}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}+y\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{x-y} = \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-y} \). Это не сокращается. Если числитель \( x-\sqrt{xy}+y \) это \( (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 \) то это не похоже на известные формулы. Если предположить, что числитель \( x-2\sqrt{xy}+y \), то было бы \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \) и тогда ответ 1. Если предположить, что числитель \( x+2\sqrt{xy}+y \), то было бы \( (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \) и тогда ответ \( \sqrt{x}+\sqrt{y} \). При данных условиях, если числитель \( x-\sqrt{xy}+y \), то возможно, что это опечатка и должно быть \( x+\sqrt{xy}+y \). В этом случае: \( \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \). Умножим на \( \sqrt{x}+\sqrt{y} \): \( \frac{(x+\sqrt{xy}+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} = \frac{x\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{x^2y}+\sqrt{xy^2}+y\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x-y} \). Это тоже сложно. Самый простой вариант: если в числителе \( x-y \), то ответ 1. Если в числителе \( x+\sqrt{xy}+y \), то вероятно, числитель разлагается на \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y) \) и тогда ответ \( x+\sqrt{xy}+y \).
2. б) \( \frac{9+3\sqrt{a}}{3+\sqrt{a}} = \frac{3(3+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = 3 \).
3. в) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю \( 1+2\sqrt{x} \): \( \frac{(1-2\sqrt{x}+4x)(1+2\sqrt{x})}{(1-2\sqrt{x})(1+2\sqrt{x})} = \frac{1+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}-4x+4x+8x\sqrt{x}}{1-(2\sqrt{x})^2} = \frac{1+8x\sqrt{x}}{1-4x} \).
4. г) \( \frac{a^2b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2} \). Если знаменатель \( a\sqrt{b}+2 \), то числитель можно попробовать представить как \( (a\sqrt{b})^2 + 2(a\sqrt{b}) + 4 \). Тогда это не полный квадрат. Если знаменатель \( a\sqrt{b}+2 \), то знаменатель похож на \( x+2 \) если \( x=a\sqrt{b} \). Числитель похоже на \( x^2+2x+4 \). Умножим числитель и знаменатель на \( a\sqrt{b}-2 \): \( \frac{(a^2b+2a\sqrt{b}+4)(a\sqrt{b}-2)}{(a\sqrt{b}+2)(a\sqrt{b}-2)} = \frac{(a\sqrt{b})^3 - 2^3}{(a\sqrt{b})^2 - 4} = \frac{a^3b\sqrt{b}-8}{a^2b-4} \). Это не сокращается. Если числитель \( a^2b+2a\sqrt{b}+4 \) и знаменатель \( a\sqrt{b}+2 \). Попробуем выделить \( a\sqrt{b} \) в числителе. \( a\sqrt{b}(a\sqrt{b}) + 2a\sqrt{b} + 4 \). Если предположить, что числитель \( a^2b+4a\sqrt{b}+4 \), то это \( (a\sqrt{b}+2)^2 \) и тогда ответ \( a\sqrt{b}+2 \).

Ответ: а) (предположительно, \( x+\sqrt{xy}+y \) при условии, что числитель \( x\sqrt{x}+y\sqrt{y} \)); б) \( 3 \); в) \( \frac{1+8x\sqrt{x}}{1-4x} \); г) (предположительно, \( a\sqrt{b}+2 \) при условии, что числитель \( a^2b+4a\sqrt{b}+4 \)).