496. Сократите дробь: a) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}\) б) \(\frac{a-\sqrt{3a}+3}{a\sqrt{a}+3\sqrt{3}}\)

Решение:

1. а) Разложим знаменатель как сумму кубов: \( a\sqrt{a}+b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b) \). Сокращаем дробь: \( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)} = \frac{1}{a-\sqrt{ab}+b} \).
2. б) Разложим знаменатель как сумму кубов: \( a\sqrt{a}+3\sqrt{3} = (\sqrt{a})^3+(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3a}+3) \). Сокращаем дробь: \( \frac{a-\sqrt{3a}+3}{( \sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3a}+3)} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}} \).

Ответ: а) \( \frac{1}{a-\sqrt{ab}+b} \); б) \( \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}} \).